令 $t=1-x$，则 $t\to 0$，且 $\tan \frac{\pi x}{2}=\cot \frac{\pi t}{2}$。因此

由 $\underset{z\to 0}{\lim }z\cot z=1$，有

又 $1+x\to 2$，故原极限为 $2\cdot \frac{2}{\pi }=\frac{4}{\pi }$。