1988 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

已给线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 3 x_{4} = 1 x_{1} + 3 x_{2} + 6 x_{3} + x_{4} = 3 3 x_{1} - x_{2} - k_{1} x_{3} + 15 x_{4} = 3 x_{1} - 5 x_{2} - 10 x_{3} + 12 x_{4} = k_{2}

。

(1) 求方程组无解时 $k_{1}, k_{2}$ 的取值条件；
(2) 求方程组有唯一解时 $k_{1}, k_{2}$ 的取值条件；
(3) 求方程组有无穷多解时 $k_{1}, k_{2}$ 的取值条件；
(4) 在方程组有无穷多解的情形下，求一般解。

答案

第 1 问

$k_{1} = 2$ 且 $k_{2} \neq = 1$

第 2 问

$k_{1} \neq = 2$

第 3 问

$k_{1} = 2, k_{2} = 1$

第 4 问

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- 8, 3 - 2 t, t, 2), t \in R$

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第 1 问

对增广矩阵作初等行变换，可化为方程

x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 3 x_{4} x_{2} + 2 x_{3} - x_{4} (2 - k_{1}) x_{3} + 2 x_{4} 3 x_{4} = 1, = 1, = 4, = k_{2} + 5.

若 $k_{1} = 2$ ，第三式要求 $x_{4} = 2$ ，而第四式要求 $x_{4} = \frac{( k _{2} + 5 )}{3}$ 。当且仅当 $k_{2} \neq = 1$ 时二者矛盾，故无解条件为 $k_{1} = 2, k_{2} \neq = 1$ 。

第 2 问

由第一问得到的消元方程组，当 $k_{1} \neq = 2$ 时，消元后的四个未知量依次都有主元，对任意 $k_{2}$ 均有唯一解。

第 3 问

由第一问得到的消元方程组，当 $k_{1} = 2, k_{2} = 1$ 时，第三、第四个约束一致，方程组相容且只有三个主元，故有一个自由未知量，从而有无穷多解。

第 4 问

由第一问得到的消元方程组，在 $k_{1} = 2, k_{2} = 1$ 时，令 $x_{3} = t$ 。由消元后的方程依次得 $x_{4} = 2$ 、 $x_{2} = 3 - 2 t$ 、 $x_{1} = - 8$ 。故一般解为 $(- 8, 3 - 2 t, t, 2)$ ， $t \in R$ 。