1988 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

讨论级数

n = 1 \sum \infty \frac{( n + 1 )!}{n ^{n + 1}}

的敛散性。

答案

收敛

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设 $a_{n} = \frac{( n + 1 )!}{n ^{n + 1}} > 0$ 。则

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{n + 2}{n + 1} (\frac{n}{n + 1})^{n + 1} .

取极限得 $n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = e^{- 1} < 1$ ，故该正项级数收敛。