真题库

设有空间区域${\Omega }_1:x^2+y^2+z^2\le R^2,z\ge 0$；及${\Omega }_2:x^2+y^2+z^2\le R^2,x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0$，则（　　）。

$n$维向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$（$3\le s\le n$）线性无关的充分必要条件是（　　）。

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且在$(a,b)$内有$f^{\prime }(x)>0$。证明：在$(a,b)$内存在唯一的$\xi$，使曲线$y=f(x)$与两直线$y=f(\xi )$，$x=a$所围平面图形$S_1$是曲线$y=f(x)$与两直线$y=f(\xi )$，$x=b$所围平面图形面积$S_2$的$3$倍。

已知$u={\mathrm{e}}^{\frac{x}{y}}$，求$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$。

设$f(x)$是周期为$2$的周期函数，它在区间$(-1,1]$上的定义为$f(x)=\{\begin{array}{ll}2,& -1<x\le 0,\\ x^3,& 0<x\le 1,\end{array}$则$f(x)$的傅里叶（Fourier）级数在$x=1$处收敛于 。

$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+6x+1$的图形在点$(0,1)$处切线与$x$轴交点的坐标是（　　）。

设$S$为曲面$x^2+y^2+z^2=1$的外侧，计算闭曲面积分$I={\iint }_S{x}^3\mathrm{d}y\mathrm{d}z+y^3\mathrm{d}z\mathrm{d}x+z^3\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。

若$A$和$B$都是$n$阶非零方阵，且$AB=0$，则$A$的秩必小于$n$（　　）。

曲线$y={\sin }^{\frac{3}{2}}x$（$0\le x\le \pi$）与$x$轴围成的图形绕$x$轴旋转所形成的旋转体体积为（　　）。

将长为$a$的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形。问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？

在区间$(0,1)$中随机地取两个数，则事件“两数之和小于$\frac{6}{5}$”的概率为 。

求微分方程$y^{\prime }+\frac{1}{x}y=\frac{1}{x(x^2+1)}$的通解（一般解）。

若事件$A,B,C$满足等式$A\cup C=B\cup C$，则$A=B$（　　）。

已知某商品的需求量$D$和供给量$S$都是价格$p$的函数：$D=D(p)=\frac{a}{p^2},S=S(p)=bp$，其中$a>0$和$b>0$为常数；价格$p$是时间$t$的函数且满足方程$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=k[D(p)-S(p)]$（$k$为正的常数）。假设当$t=0$时价格为$1$。

已知矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& x\end{array}\right)$与$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& y& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$相似。

${\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)}^{-1}=$ 。

已知$n$阶方阵$A$满足矩阵方程$A^2-3A-2E=O$，其中$A$是给定的，$E$是单位矩阵。

设$A$是三阶方阵，$A^{\ast }$是$A$的伴随矩阵，且$|A|=\frac{1}{2}$。求行列式$|(3A{)}^{-1}-2A^{\ast }|$的值。

设随机变量$X$的概率密度函数为$f_X(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$，求随机变量$Y=1-\sqrt[3]{X}$的概率密度函数$f_Y(y)$。

设$u=yf(\frac{x}{y})+xg(\frac{y}{x})$，其中函数$f,g$具有二阶连续导数，求$x\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+y\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$。