1988 · 数学一 · 第 13 题 · 解答题

设

u = y f (\frac{x}{y}) + xg (\frac{y}{x})

，其中函数

f, g

具有二阶连续导数，求

x \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + y \frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y}

。

答案

$0$

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在表达式有定义处， $u (t x, t y) = t u (x, y)$ ，故 $u$ 是一次齐次函数。由欧拉公式， $x u_{x} + y u_{y} = u$ 。

对上式关于 $x$ 求偏导，得到 $u_{x} + x u_{xx} + y u_{y x} = u_{x}$ 。因二阶偏导连续， $u_{y x} = u_{x y}$ ，所以 $x u_{xx} + y u_{x y} = 0$ 。