1988 · 数学三 · 第 13 题 · 解答题

求微分方程

y^{'} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x ( x ^{2} + 1 )}

的通解（一般解）。

答案

$y = \frac{arctan x + C}{x}, x \neq = 0$

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方程定义在不经过 $0$ 的区间上。乘以 $x$ 后得

x y^{'} + y = \frac{1}{x ^{2} + 1},

即 $(x y)^{'} = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ 。

积分得 $x y = arctan x + C$ ，所以

y = \frac{arctan x + C}{x}, x \neq = 0.

在 $(- \infty, 0)$ 与 $(0, + \infty)$ 上积分常数可分别取值。