对 $\xi \in [a,b]$，令

并设 $F(\xi )=S_1(\xi )-3S_2(\xi )$。由 $f$ 连续，$F$ 在 $[a,b]$ 上连续。

由于 $f^{\prime }(x)>0$，函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上严格递增。因此

由介值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $F(\xi )=0$，即 $S_1=3S_2$。

在 $(a,b)$ 内求导可得 $S_1^{\prime }(\xi )=(\xi -a)f^{\prime }(\xi )$，$S_2^{\prime }(\xi )=-(b-\xi )f^{\prime }(\xi )$。故

其中 $3b-a-2\xi >b-a>0$。所以 $F$ 严格递增，零点唯一。