1988 · 数学三 · 第 20 题 · 解答题

设

A

是三阶方阵，

A^{*}

是

A

的伴随矩阵，且

∣ A ∣ = \frac{1}{2}

。求行列式

∣ (3 A)^{- 1} - 2 A^{*} ∣

的值。

答案

$- \frac{16}{27}$

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由 $A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1} = \frac{1}{2} A^{- 1}$ ，得 $(3 A)^{- 1} - 2 A^{*} = \frac{1}{3} A^{- 1} - A^{- 1} = - \frac{2}{3} A^{- 1}$ 。

因为矩阵为三阶，所求行列式为 $(- \frac{2}{3})^{3} ∣ A^{- 1} ∣ = (- \frac{8}{27}) \cdot (\frac{1}{∣ A ∣}) = (- \frac{8}{27}) \cdot 2 = - \frac{16}{27}$ 。