1988 · 数学一 · 第 3 题 · 解答题

设

S

为曲面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

的外侧，计算闭曲面积分

I = \iint_{S} x^{3} d y d z + y^{3} d z d x + z^{3} d x d y

。

答案

$\frac{12 π}{5}$

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球面取外侧，令 $F = (x^{3}, y^{3}, z^{3})$ 。由高斯公式，

I = ∭_{x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1} (3 x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2}) d V .

改用球坐标，

I = 3 \cdot 4 π \int_{0}^{1} r^{4} d r = \frac{12 π}{5} .