1988 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

设随机变量

X

的概率密度函数为

f_{X} (x) = \frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )}

，求随机变量

Y = 1 - 3 X

的概率密度函数

f_{Y} (y)

。

答案

$f_{Y} (y) = \frac{3 ( 1 - y ) ^{2}}{π [ 1 + ( 1 - y ) ^{6} ]}, - \infty < y < \infty$

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变换 $y = 1 - 3 x$ 在实数轴上严格单调递减，反函数为 $x = (1 - y)^{3}$ ，且

\frac{d x}{d y} = 3 (1 - y)^{2} .

因此对任意 $y \in R$ ，

f_{Y} (y) = f_{X} ((1 - y)^{3}) \frac{d x}{d y} = \frac{3 ( 1 - y ) ^{2}}{π [ 1 + ( 1 - y ) ^{6} ]} .

在 $y = 1$ 处该式取值为 $0$ ，与公式连续一致。