1988 · 数学一 · 第 10 题 · 选择题

设有空间区域

Ω_{1} : x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, z \geq 0

；及

Ω_{2} : x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0

，则（　　）。

答案

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半球 $Ω_{1}$ 关于平面 $x = 0$ 与 $y = 0$ 对称。把它按 $x, y$ 的符号分成四个全等部分，其中 $x \geq 0, y \geq 0$ 的部分正是 $Ω_{2}$ 。

被积函数 $z$ 在四部分对应点取值相同，故 $∭_{Ω_{1}} z d v = 4 ∭_{Ω_{2}} z d v$ ，选 C。其余选项的左端因奇对称为零，而右端不为零。