设 $c_1{\beta }_1+\cdots +c_s{\beta }_s=0$。因 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$ 线性无关，比较各 ${\alpha }_j$ 的系数得 $c_{j-1}+c_j=0$（下标按循环理解）。因此 $c_j=(-1{)}^{j-1}{c}_1$。

最后一个循环条件为 $[(-1{)}^{s-1}+1]c_1=0$。若 $s$ 为奇数，则 $c_1=0$，进而所有 $c_j=0$，故 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_s$ 线性无关。

若 $s$ 为偶数，取 $c_j=(-1{)}^{j-1}$ 即得到非零关系 ${\beta }_1-{\beta }_2+\cdots -{\beta }_s=0$，故该向量组线性相关。