两段函数各自在其区间内可导，只需考察连接点 $x=1$。在 $x=1$ 处连续要求

左侧函数 $x^2$ 在 $x=1$ 处的左导数为 $2$，右侧函数 $ax+b$ 的右导数为 $a$。可导要求 $a=2$，代入连续条件得 $b=-1$。这两个条件也保证连接点处连续且左右导数相等，因此充分。