对固定的实数 $t$，$(1+\frac{1}{x}{)}^{2tx}\to {\mathrm{e}}^{2t}$，所以 $f(t)=t{\mathrm{e}}^{2t}$。

由乘积求导法则，$f^{\prime }(t)={\mathrm{e}}^{2t}+2t{\mathrm{e}}^{2t}=(1+2t){\mathrm{e}}^{2t}$。