1988 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

设

x \geq - 1

，求

\int_{- 1}^{x} (1 - ∣ t ∣) d t

。

答案

$⎩ ⎨ ⎧ \frac{( x + 1 ) ^{2}}{2}, \frac{1}{2} + x - \frac{x ^{2}}{2}, - 1 \leq x \leq 0 x \geq 0$

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当 $- 1 \leq x \leq 0$ 时，积分区间内 $∣ t ∣ = - t$ ，所以

\int_{- 1}^{x} (1 - ∣ t ∣) d t = \int_{- 1}^{x} (1 + t) d t = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{2} .

当 $x \geq 0$ 时，在 $t = 0$ 处分段：

\int_{- 1}^{x} (1 - ∣ t ∣) d t = \int_{- 1}^{0} (1 + t) d t + \int_{0}^{x} (1 - t) d t = \frac{1}{2} + x - \frac{x ^{2}}{2} .