第 1 空：

被积函数连续，故由变上限积分求导公式得 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$。

第 2 空：

对任意实数 $x$，都有 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}>0$，所以 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上严格单调增加。

第 3 空：

由于 ${\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}$ 是偶函数，

故 $f$ 为奇函数。

第 4 空：

求得 $f^{\prime \prime }(x)=-x{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$。它在 $x=0$ 两侧异号，且 $f(0)=0$，所以拐点为 $(0,0)$。

第 5 空：

当 $x<0$ 时 $f^{\prime \prime }(x)>0$，图形凹向上；当 $x>0$ 时 $f^{\prime \prime }(x)<0$，图形凹向下。

第 6 空：

利用 ${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$，得 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$。又因 $f$ 为奇函数，$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\sqrt{\frac{\pi }{2}}$。因此两条水平渐近线为 $y=\pm \sqrt{\frac{\pi }{2}}$。