1988 · 数学三 · 第 22 题 · 解答题

某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占

20%

，以

X

表示在随意抽查的

100

个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。附表中

Φ (x)

是标准正态分布函数：

$x$	$0$	$0.5$	$1.0$	$1.5$	$2.0$	$2.5$	$3.0$
$Φ (x)$	$0.500$	$0.692$	$0.841$	$0.933$	$0.977$	$0.994$	$0.999$

答案

$P (X = k) = (k 100) (0.2)^{k} (0.8)^{100 - k}, k = 0, 1, \dots, 100$

$P (14 \leq X \leq 30) \approx 0.927$

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每个索赔户为被盗索赔户的概率为 $0.2$ ，抽查 $100$ 户，故 $X \sim B (100, 0.2)$ ，即 $P (X = k) = (k 100) (0.2)^{k} (0.8)^{100 - k}$ 。

这里 $n p = 20$ ， $n p (1 - p) = 16$ ，标准差为 $4$ 。按题给表的取值，

P (14 \leq X \leq 30) \approx Φ (\frac{30 - 20}{4}) - Φ (\frac{14 - 20}{4}) = Φ (2.5) - Φ (- 1.5) .

由 $Φ (- 1.5) = 1 - Φ (1.5)$ ，近似值为 $0.994 - (1 - 0.933) = 0.927$ 。