2022 · 数学一 · 第 18 题 · 解答题

已知平面区域

D = {(x, y) ∣ y - 2 \leq x \leq 4 - y^{2}, 0 \leq y \leq 2}

，计算

I = \iint_{D} \frac{( x - y ) ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} d x d y

。

答案

$2 π - 2$

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将区域分为第一象限半径为 $2$ 的四分之一圆盘 $D_{1}$ ，及第二象限的三角形 $D_{2} = {(x, y) : - 2 \leq x \leq 0, 0 \leq y \leq x + 2}$ 。两者只在零面积线段相交。
被积函数在原点未定义，但其值在其余点介于 $0$ 与 $2$ 之间，单点赋值不影响积分。令 $x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ ，则 $\frac{( x - y ) ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} )} = 1 - sin 2 θ$ 。
在 $D_{1}$ 上， $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ ， $0 \leq r \leq 2$ ，所以

I_{1} = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - sin 2 θ) d θ = 2 [θ + \frac{cos 2 θ}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} = π - 2.

在 $D_{2}$ 上， $\frac{π}{2} \leq θ \leq π$ 。直线 $y = x + 2$ 化为 $r = \frac{2}{( sin θ - cos θ )}$ ，分母在此角度区间恒正。又因 $(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - sin 2 θ$ ，径向积分后恰好约去该因子：

I_{2} = \int_{\frac{π}{2}}^{π} (1 - sin 2 θ) \frac{2}{( sin θ - cos θ ) ^{2}} d θ = \int_{\frac{π}{2}}^{π} 2 d θ = π .

故 $I = I_{1} + I_{2} = 2 π - 2$ 。

也可拆项。区域面积为 $∣ D ∣ = π + 2$ ，由 $\frac{( x - y ) ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} )} = 1 - 2 \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}$ ，有 $I = π + 2 - 2 K$ ，其中 $K = \iint_{D} \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}} d x d y$ ；原点任意赋值不影响积分。
将区域分成第一象限四分之一圆盘与第二象限三角形，极坐标下分别得

K_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin 2 θ d θ = 1, K_{2} = \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{sin 2 θ}{1 - sin 2 θ} d θ .

对 $K_{2}$ 令 $φ = θ - \frac{3 π}{4}$ ，则 $1 - sin 2 θ = 2 cos^{2} φ$ ，故

K_{2} = \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} (\frac{1}{2} sec^{2} φ - 1) d φ = [\frac{tan φ}{2} - φ]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} = 1 - \frac{π}{2} .

因此 $K = 2 - \frac{π}{2}$ ， $I = π + 2 - 2 (2 - \frac{π}{2}) = 2 π - 2$ 。