假设 $|A|=0$。由伴随矩阵恒等式 $A{A}^{\ast }=|A|I$ 以及 $A^{\ast }=A^T$，可得 $A{A}^T=0$。

对每个 $i$，矩阵 $A{A}^T$ 的第 $i$ 个对角元为 $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}^2$。它等于零，因此 $A$ 的每一行都为零，即 $A=0$，与题设 $A$ 为非零方阵矛盾。

故 $|A|\ne 0$。