真题库

计算曲面积分${\iint }_S\frac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z+z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{x^2+y^2+z^2}$，其中$S$是由圆柱面$x^2+y^2=R^2$及两平面$z=R$、$z=-R$（$R>0$）所围成立体表面的外侧。

设$f(x)$具有二阶连续导数，$f(0)=0$，$f^{\prime }(0)=1$，且$[xy(x+y)-f(x)y]\mathrm{d}x+[f^{\prime }(x)+x^{2}y]\mathrm{d}y=0$为一全微分方程。

设$f(x)$在点$x=0$的某一邻域内具有二阶连续导数，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$，证明级数$\sum _{n=1}^{\infty }f(\frac{1}{n})$绝对收敛。

已知点$A$与$B$的直角坐标分别为$(1,0,0)$与$(0,1,1)$。线段$AB$绕$z$轴旋转一周所围成的旋转曲面为$S$。求由$S$及两平面$z=0$、$z=1$所围成的立体体积。

设四元线性齐次方程组①为$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=0\\ x_2-x_4=0\end{array}$，又已知某线性齐次方程组②的通解为$k_1(0,1,1,0)+k_2(-1,2,2,1)$。

设$A$为$n$阶非零方阵，$A^{\ast }$是$A$的伴随矩阵，$A^T$是$A$的转置矩阵。当$A^{\ast }=A^T$时，证明$|A|\ne 0$。

已知$A$、$B$两个事件满足$P(AB)=P(\overline{A}\overline{B})$，且$P(A)=p$，则$P(B)=$ 。

设相互独立的两个随机变量$X$、$Y$具有同一分布律，$X$的分布律如下表。求随机变量$Z=\max \{X,Y\}$的分布律： 。

已知随机变量$(X,Y)$服从二维正态分布，且$X$和$Y$分别服从正态分布$N(1,3^2)$和$N(0,4^2)$，$X$与$Y$的相关系数${\rho }_{XY}=-\frac{1}{2}$，设$Z=\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}$。

在椭圆$x^2+4y^2=4$上求一点，使其到直线$2x+3y-6=0$的距离最短。

设$A$是$n$阶方阵，$2,4,6,\cdots ,2n$是$A$的$n$个特征值，$E$是$n$阶单位阵，计算行列式$|A-3E|$的值。

${\int }_{-2}^2\frac{x+|x|}{2+x^2}\mathrm{d}x=$ 。

若$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin 2x+{\mathrm{e}}^{2ax}-1}{x},& x\ne 0\\ a,& x=0\end{array}$在$(-\infty ,+\infty )$上连续，则$a=$ 。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=t-\ln (1+t)\\ y=t^3+t^2\end{array}$所确定，则$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=$ 。

已知$f^{\prime }(x_0)=-1$，则$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{f(x_0-2x)-f(x_0-x)}=$ 。

设方程${\mathrm{e}}^{xy}+y^2=\cos x$确定$y$为$x$的函数，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=$ 。

设$f$在包含$[-1,1]$的某个开区间上连续，则$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[{\int }_0^{\cos 3x}f(t)\mathrm{d}t]=$ 。

$\int x^3{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x=$ 。

设$A=\left(\begin{array}{ccccc}0& a_1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a_{n-1}\\ a_n& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$，其中$a_i\ne 0,i=1,2,\cdots ,n$，则$A^{-1}=$ 。

微分方程$y\mathrm{d}x+(x^2-4x)\mathrm{d}y=0$的通解为 。