真题库

设$y={\mathrm{e}}^x$是微分方程$x{y}^{\prime }+p(x)y=x$的一个解，求此微分方程满足条件$y{|}_{x=\ln 2}=0$的特解。

设曲线$L$的方程为$y=f(x)$，且$y^{\prime \prime }>0$，又$MT,MP$分别为该曲线在点$M(x_0,y_0)$处的切线和法线。已知线段$MP$的长度为$\frac{[1+(y_0^{\prime }{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}{y_0^{\prime \prime }}$（其中$y_0^{\prime }=y^{\prime }(x_0),y_0^{\prime \prime }=y^{\prime \prime }(x_0)$），试推导出点$P(\xi ,\eta )$的坐标表达式。

某厂家生产的每台仪器，以概率$0.70$可以直接出厂；以概率$0.30$需进一步调试，经调试后以概率$0.80$可以出厂，以概率$0.20$定为不合格品、不能出厂。现该厂新生产了$n$（$n\ge 2$）台仪器，假设各台仪器的生产过程相互独立。

假设随机变量$X$服从参数为$2$的指数分布。证明：$Y=1-{\mathrm{e}}^{-2X}$在区间$(0,1)$上服从均匀分布。

已知随机变量$X$和$Y$的联合概率密度为$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}4xy,& 0\le x\le 1,0\le y\le 1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，求$X$和$Y$的联合分布函数$F(x,y)$。

设$f(x)={\int }_0^x\frac{\sin t}{\pi -t}\mathrm{d}t$，求${\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x$。

设$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$，且$f^{\prime \prime }(x)>0$，证明$f(x)\ge x$。

$\underset{x\to 0}{\lim }\cot x(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x})=$ 。

曲面$z-{\mathrm{e}}^z+2xy=3$在点$(1,2,0)$处的切平面方程为 。

设$u={\mathrm{e}}^{-x}\sin \frac{x}{y}$，则$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}$在点$(2,\frac{1}{\pi })$处的值为 。

设区域$D=\{(x,y):x^2+y^2\le R^2\}$，则${\iint }_D(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$ 。

已知$\alpha =(1,2,3)$，$\beta =(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3})$，设$A={\alpha }^T\beta$，其中${\alpha }^T$是$\alpha$的转置，则$A^n=$ 。

设$M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{1+x^2}{\cos }^{4}x\mathrm{d}x$，$N={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{3}x+{\cos }^{4}x)\mathrm{d}x$，$P={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(x^2{\sin }^{3}x-{\cos }^{4}x)\mathrm{d}x$，则有（　　）。

二元函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处两个偏导数$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$、$f_y^{\prime }(x_0,y_0)$存在是$f(x,y)$在该点连续的（　　）。

设常数$\lambda >0$，且级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^2$收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{|a_n|}{\sqrt{n^2+\lambda }}$（　　）。

设$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a\tan x+b(1-\cos x)}{c\ln (1-2x)+d(1-{\mathrm{e}}^{-x^2})}=2$，其中$a^2+c^2\ne 0$，则必有（　　）。

已知向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$线性无关，则下列向量组中线性无关的是（　　）。

设$\{\begin{array}{l}x=\cos (t^2)\\ y=t\cos (t^2)-{\int }_1^{t^2}\frac{\cos u}{2\sqrt{u}}\mathrm{d}u\end{array}$。

将函数$f(x)=\frac{1}{4}\ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{1}{2}\arctan x-x$展开成$x$的幂级数。

求$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin 2x+2\sin x}$。