1995 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

某厂家生产的每台仪器，以概率

0.70

可以直接出厂；以概率

0.30

需进一步调试，经调试后以概率

0.80

可以出厂，以概率

0.20

定为不合格品、不能出厂。现该厂新生产了

n

（

n \geq 2

）台仪器，假设各台仪器的生产过程相互独立。

答案

$α = 0.9 4^{n}$

$β = (2 n) (0.06)^{2} (0.94)^{n - 2}$

$θ = 1 - (0.94)^{n} - 0.06 n (0.94)^{n - 1}$

一台仪器最终不能出厂的概率为 $0.30 \times 0.20 = 0.06$ ，故最终能出厂的概率为 $1 - 0.06 = 0.94$ 。

各台生产过程独立，所以全部 $n$ 台都能出厂的概率为

α = (0.94)^{n} .

由第一问，单台不能出厂的概率为 $0.06$ 。不能出厂的台数 $K \sim Bin (n, 0.06)$ 。因此

β = P (K = 2) = (2 n) (0.06)^{2} (0.94)^{n - 2} .

沿用第二问定义的台数 $K$ 及其二项分布。至少两台不能出厂的补事件是没有不合格品或恰有一台不合格品。因此

θ = 1 - P (K = 0) - P (K = 1) .

代入二项分布概率，得到

θ = 1 - (0.94)^{n} - n (0.06) (0.94)^{n - 1} .