原分母为 $2\sin x(1+\cos x)$。令 $t=\tan \frac{x}{2}$，则 $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$、$1+\cos x=\frac{2}{1+t^2}$、$\mathrm{d}x=\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^2}$。

因此原积分化为 $\frac{1}{4}\int (\frac{1}{t}+t)\mathrm{d}t=\frac{1}{4}\ln |t|+\frac{1}{8}{t}^2+C$。

代回 $t=\tan \frac{x}{2}$，得到 $\frac{1}{4}\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+\frac{1}{8}{\tan }^2\frac{x}{2}+C$。