1995 · 数学三 · 第 20 题 · 解答题

已知随机变量

X

和

Y

的联合概率密度为

f (x, y) = {4 x y, 0, 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 其他

，求

X

和

Y

的联合分布函数

F (x, y)

。

答案

$F (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, x^{2} y^{2}, x^{2}, y^{2}, 1, x \leq 0 或 y \leq 0 0 < x < 1, 0 < y < 1 0 < x < 1, y \geq 1 x \geq 1, 0 < y < 1 x \geq 1, y \geq 1$

解析

由定义 $F (x, y) = P (X \leq x, Y \leq y)$ 。若 $x \leq 0$ 或 $y \leq 0$ ，积分区域与密度的支持区域没有正面积交集，故 $F (x, y) = 0$ 。

当 $0 < x < 1, 0 < y < 1$ 时，

F (x, y) = \int_{0}^{x} \int_{0}^{y} 4 uv d v d u = x^{2} y^{2} .

当某一上限达到或超过 $1$ 时，把该方向的积分上限截为 $1$ 。

因此

F (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, x^{2} y^{2}, x^{2}, y^{2}, 1, x \leq 0 或 y \leq 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x < 1, y \geq 1, x \geq 1, 0 < y < 1, x \geq 1, y \geq 1.

各边界取值也与分布函数的右连续性一致。