真题库

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。以$Y$表示对$X$的三次独立重复观察中事件$\{X\le \frac{1}{2}\}$出现的次数，则$P\{Y=2\}=$ 。

假设一批产品中一、二、三等品各占$60\%,30\%,10\%$，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到一等品的概率为 。

设$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)-(ax+b{x}^2)}{x^2}=2$，则（　　）。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{3}{x}^3,& x\le 1\\ x^2,& x>1\end{array}$，则$f(x)$在$x=1$处（　　）。

设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(x)>0$，则方程${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_b^x\frac{1}{f(t)}\mathrm{d}t=0$在开区间$(a,b)$内的根有（　　）。

设$A$是$m\times n$矩阵，$C$是$n$阶可逆矩阵，矩阵$A$的秩为$r$，矩阵$B=AC$的秩为$r_1$，则（　　）。

设$y=f(x)$是满足微分方程$y^{\prime \prime }+y^{\prime }-{\mathrm{e}}^{\sin x}=0$的解，且$f^{\prime }(x_0)=0$，则$f(x)$在（　　）。

设$A$、$B$都是$n$阶非零矩阵，且$AB=O$，则$A$和$B$的秩（　　）。

设有向量组${\alpha }_1=(1,-1,2,4)$，${\alpha }_2=(0,3,1,2)$，${\alpha }_3=(3,0,7,14)$，${\alpha }_4=(1,-2,2,0)$，${\alpha }_5=(2,1,5,10)$，则该向量组的极大线性无关组是（　　）。

曲线$y={\mathrm{e}}^{\frac{1}{x^2}}\arctan \frac{x^2+x+1}{(x+1)(x-2)}$的渐近线有（　　）。

设$0<P(A)<1$，$0<P(B)<1$，$P(A\mid B)+P(\overline{A}\mid \overline{B})=1$，则（　　）。

设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$是来自正态总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的简单随机样本，$\overline{X}$是样本均值，记$S_1^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$，$S_2^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$，$S_3^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$，$S_4^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$，则服从自由度为$n-1$的$t$分布的随机变量是（　　）。

设$y=f(x+y)$，其中$f$具有二阶导数，且其一阶导数不等于$1$，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

求极限$\underset{x\to \infty }{\lim }[x-x^2\ln (1+\frac{1}{x})]$。

计算二重积分${\iint }_D(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le x+y+1\}$。

设函数$y=y(x)$满足条件$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y=0\\ y(0)=2,y^{\prime }(0)=-4\end{array}$，求广义积分${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x$。

计算${\int }_0^{1}x(1-x^4{)}^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x$。

设$\frac{\sin x}{x}$是$f(x)$的一个原函数，求$\int x^3{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$。

计算$\underset{n\to \infty }{\lim }{\tan }^n(\frac{\pi }{4}+\frac{2}{n})$。

已知$f(x,y)=x^2\arctan \frac{y}{x}-y^2\arctan \frac{x}{y}$，求$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$。