1994 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

计算

\int_{0}^{1} x (1 - x^{4})^{\frac{3}{2}} d x

。

答案

$\frac{3 π}{32}$

令 $t = x^{2}$ ，则

\int_{0}^{1} x (1 - x^{4})^{\frac{3}{2}} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1 - t^{2})^{\frac{3}{2}} d t .

再令 $t = sin θ$ ，得到

\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{4} θ d θ = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 π}{16} = \frac{3 π}{32} .