真题库

设函数$f(x)$可导，且$f(0)=0$，$F(x)={\int }_0^x{t}^{n-1}f(x^n-t^n)\mathrm{d}t$，求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^{2n}}$。

某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养$x$万尾，乙种鱼放养$y$万尾，收获时两种鱼的收获量分别为$(3-\alpha x-\beta y)x$和$(4-\beta x-2\alpha y)y$，其中$\alpha >\beta >0$。求使产鱼总量最大的放养数。

如图，设曲线方程为$y=x^2+\frac{1}{2}$，梯形$OABC$的面积为$D$，曲边梯形$OABC$的面积为$D_1$，点$A$的坐标为$(a,0)$（$a>0$）。证明$\frac{D}{D_1}<\frac{3}{2}$。

已知曲线$y=a\sqrt{x}$（$a>0$）与曲线$y=\ln \sqrt{x}$在点$(x_0,y_0)$处有公共切线。

已知曲线$y=a\sqrt{x}$（$a>0$）与曲线$y=\ln \sqrt{x}$在点$(x_0,y_0)$处有公共切线。

设当$x>0$时，方程$kx+\frac{1}{x^2}=1$有且仅有一个解，求$k$的取值范围。

设函数$f(x)$可导，且$f(0)=0$，$F(x)={\int }_0^x{t}^{n-1}f(x^n-t^n)\mathrm{d}t$。证明$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^{2n}}=\frac{1}{2n}{f}^{\prime }(0)$。

假设$f(x)$在$[a,+\infty )$上连续，$f^{\prime \prime }(x)$在$(a,+\infty )$内存在且大于零，记$F(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x>a)$。证明$F(x)$在$(a,+\infty )$内单调增加。

设线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+a_1{x}_2+a_1^2{x}_3=a_1^3\\ x_1+a_2{x}_2+a_2^2{x}_3=a_2^3\\ x_1+a_3{x}_2+a_3^2{x}_3=a_3^3\\ x_1+a_4{x}_2+a_4^2{x}_3=a_4^3\end{array}$。

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$是齐次线性方程组$Ax=0$的一个基础解系。证明：${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_1$也是该方程组的一个基础解系。

设函数$y=\frac{x^3+4}{x^2}$。

设$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ x& 1& y\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$有三个线性无关的特征向量，求$x$和$y$应满足的条件。

求微分方程$y^{\prime \prime }+a^{2}y=\sin x$的通解，其中常数$a>0$。

假设随机变量$X_1,X_2,X_3,X_4$相互独立，且同分布，$P\{X_i=0\}=0.6,P\{X_i=1\}=0.4(i=1,2,3,4)$。求行列式$X=\left|\begin{array}{cc}{X}_1& X_2\\ X_3& X_4\end{array}\right|$的概率分布。

假设随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。现在对$X$进行$n$次独立重复观测，以$V_n$表示观测值不大于$0.1$的次数，求随机变量$V_n$的概率分布。

设$f(x)$在$[0,1]$上连续且递减。证明：当$0<\lambda <1$时，${\int }_0^{\lambda }f(x)\mathrm{d}x\ge \lambda {\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$。

假设由自动线加工的某种零件的内径$X$（毫米）服从正态分布$N(\mu ,1)$，内径小于$10$或大于$12$的为不合格品，其余为合格品。已知销售一个零件的利润$T$（元）与内径$X$的关系为$T=\{\begin{array}{ll}-1,& X<10\\ 20,& 10\le X\le 12\\ -5,& X>12\end{array}$。问平均内径$\mu$取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

求曲线$y=3-|x^2-1|$与$x$轴围成的封闭图形绕直线$y=3$旋转所得的旋转体体积。

函数$F(x)={\int }_1^x(2-\frac{1}{\sqrt{t}})\mathrm{d}t$（$x>0$）的单调减少区间为 。

由曲线$\{\begin{array}{l}3x^2+2y^2=12\\ z=0\end{array}$绕$y$轴旋转一周得到的旋转面在点$(0,\sqrt{3},\sqrt{2})$处的指向外侧的单位法向量为 。