真题库

设函数$f(x)=\pi x+x^2$（$-\pi <x<\pi$）的傅里叶级数展开式为$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，则其中系数$b_3$的值为 。

设数量场$u=\ln \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则$\mathrm{div}(\mathrm{grad}u)=$ 。

设$n$阶矩阵$A$的各行元素之和均为零，且$A$的秩为$n-1$，则线性方程组$Ax=0$的通解为 。

设$f(x)={\int }_0^{\sin x}\sin (t^2)\mathrm{d}t$，$g(x)=x^3+x^4$，则当$x\to 0$时，$f(x)$是$g(x)$的（　　）。

双纽线$(x^2+y^2{)}^2=x^2-y^2$所围成的区域面积可用定积分表示为（　　）。

设有直线$L_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+8}{1}$与$L_2:\{\begin{array}{l}x-y=6\\ 2y+z=3\end{array}$，则$L_1$与$L_2$的夹角为（　　）。

设曲线积分${\int }_L[f(x)-{\mathrm{e}}^x]\sin y\mathrm{d}x-f(x)\cos y\mathrm{d}y$与路径无关，其中$f(x)$具有一阶连续导数，且$f(0)=0$，则$f(x)$等于（　　）。

已知$Q=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& t\\ 3& 6& 9\end{array}\right)$，$P$为三阶非零矩阵，且满足$PQ=O$，则（　　）。

求$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}{)}^x$。

求$\int \frac{x{\mathrm{e}}^x}{\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}}\mathrm{d}x$。

求微分方程$x^2{y}^{\prime }+xy=y^2$满足初始条件$y{|}_{x=1}=1$的特解。

计算${\iint }_{\Sigma }2xz\mathrm{d}y\mathrm{d}z+yz\mathrm{d}z\mathrm{d}x-z^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$\Sigma$是由曲面$z=\sqrt{x^2+y^2}$与$z=\sqrt{2-x^2-y^2}$所围立体的表面外侧。

求级数$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n(n^2-n+1)}{2^n}$的和。

设在$[0,+\infty )$上函数$f(x)$有连续导数，且$f^{\prime }(x)\ge k>0$，$f(0)<0$，证明$f(x)$在$(0,+\infty )$内有且仅有一个零点。

设$b>a>\mathrm{e}$，证明$a^b>b^a$。

已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+2a{x}_2{x}_3$（$a>0$）通过正交变换化成标准形$f=y_1^2+2y_2^2+5y_3^2$。

设$A$是$n\times m$矩阵，$B$是$m\times n$矩阵，其中$n<m$，$E$是$n$阶单位矩阵。若$AB=E$，证明$B$的列向量组线性无关。

设物体$A$从点$(0,1)$出发，以速度大小为常数$v$沿$y$轴正向运动。物体$B$从点$(-1,0)$与$A$同时出发，其速度大小为$2v$，方向始终指向$A$。

一批产品共有$10$个正品和$2$个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。

设随机变量$X$服从$(0,2)$上的均匀分布，则随机变量$Y=X^2$在$(0,4)$内的概率密度$f_Y(y)=$ 。