$a=2$

可取$x=Qy,Q=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$

二次型矩阵为

，其特征值为 $2,3-a,3+a$。

正交变换不改变特征值，而标准形的特征值为 $1,2,5$。因 $a>0$，必有 $3-a=1$、$3+a=5$，故 $a=2$。

沿用第一问的二次型矩阵 $A$，并代入 $a=2$，对特征值 $1,2,5$ 可分别取单位特征向量 $q_1=(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^{\mathsf{T}}$、$q_2=(1,0,0{)}^{\mathsf{T}}$、$q_3=(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^{\mathsf{T}}$。

令 $Q=(q_1,q_2,q_3)$，则 $Q^{\mathsf{T}}Q=E$，且 $Q^{\mathsf{T}}AQ=\mathrm{diag}(1,2,5)$。因此取 $x=Qy$ 即得到题设标准形。