1994 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

由于 $A α_{i} = 0$ （ $i = 1, 2, 3$ ），由线性性可得

A (α_{1} + α_{2}) = A (α_{2} + α_{3}) = A (α_{3} + α_{1}) = 0.

因此这三个向量都是方程组的解。

设

c_{1} (α_{1} + α_{2}) + c_{2} (α_{2} + α_{3}) + c_{3} (α_{3} + α_{1}) = 0.

整理得

(c_{1} + c_{3}) α_{1} + (c_{1} + c_{2}) α_{2} + (c_{2} + c_{3}) α_{3} = 0.

因为 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性无关，所以

c_{1} + c_{3} = 0, c_{1} + c_{2} = 0, c_{2} + c_{3} = 0.

解得 $c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0$ ，故三个新解线性无关。

原基础解系含三个向量，说明解空间维数为 $3$ 。上述三个新解既属于解空间又线性无关，因此也构成该方程组的一个基础解系。

答案