1994 · 数学一 · 第 22 题 · 解答题

已知随机变量

(X, Y)

服从二维正态分布，且

X

和

Y

分别服从正态分布

N (1, 3^{2})

和

N (0, 4^{2})

，

X

与

Y

的相关系数

ρ_{X Y} = - \frac{1}{2}

，设

Z = \frac{X}{3} + \frac{Y}{2}

。

答案

$E (Z) = \frac{1}{3}$

$D (Z) = 3$

$ρ_{X Z} = 0$

X 与 Z 相互独立。

由 $Z = \frac{X}{3} + \frac{Y}{2}$ ，有 $E (Z) = \frac{1}{3} E (X) + \frac{1}{2} E (Y) = \frac{1}{3}$ 。

由相关系数， $Cov (X, Y) = ρ_{X Y} σ_{X} σ_{Y} = - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = - 6$ 。

因此

D (Z) = \frac{1}{9} D (X) + \frac{1}{4} D (Y) + 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} Cov (X, Y) = 1 + 4 - 2 = 3

。

利用第二问求得的协方差， $Cov (X, Z) = \frac{1}{3} D (X) + \frac{1}{2} Cov (X, Y) = 3 - 3 = 0$ 。

由于 $D (X) = 9$ 、第二问的 $D (Z) = 3$ 均非零，故 $ρ_{X Z} = \frac{Cov ( X , Z )}{D ( X ) D ( Z )} = 0$ 。

$(X, Y)$ 联合正态，而 $(X, Z)$ 是其线性变换，故 $(X, Z)$ 也联合正态。

由上一问 $Cov (X, Z) = 0$ 。联合正态变量不相关当且仅当相互独立，因此 $X$ 与 $Z$ 相互独立。