1994 · 数学二 · 第 19 题 · 解答题

设

A

是

n

阶方阵，

2, 4, 6, \dots, 2 n

是

A

的

n

个特征值，

E

是

n

阶单位阵，计算行列式

∣ A - 3 E ∣

的值。

答案

$- \frac{( 2 n - 2 )!}{2 ^{n - 1} ( n - 1 )!}$

$A - 3 E$ 的特征值是 $2 k - 3$ （ $k = 1, 2, \dots, n$ ），因此

∣ A - 3 E ∣ = \prod_{k = 1}^{n} (2 k - 3) = - 1 \cdot 1 \cdot 3 \dots (2 n - 3) .

奇数乘积满足 $1 \cdot 3 \dots (2 n - 3) = \frac{( 2 n - 2 )!}{2 ^{n - 1} ( n - 1 )!}$ ，故

∣ A - 3 E ∣ = - \frac{( 2 n - 2 )!}{2 ^{n - 1} ( n - 1 )!} .

当 $n = 1$ 时该式同样给出 $- 1$ 。