令 $u=x^2$，则 $x^3\mathrm{d}x=\frac{1}{2}u\mathrm{d}u$，所以

$$\int x^3{\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int u{\mathrm{e}}^u\mathrm{d}u.$$

分部积分得 $\int u{\mathrm{e}}^u\mathrm{d}u=(u-1){\mathrm{e}}^u+C$。代回 $u=x^2$，得到

$$\frac{1}{2}(x^2-1){\mathrm{e}}^{x^2}+C.$$