1993 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

已知3阶矩阵

A

的逆矩阵为

A^{- 1} = 111121311

，试求其伴随矩阵

A^{*}

的逆矩阵。

答案

$(A^{*})^{- 1} = 10 - 1 2 - 2 0 - 5 21$

记

M = A^{- 1} = 111121311 .

计算得 $det M = - 2$ ，所以 $det A = - \frac{1}{2}$ 。

由 $A^{*} = (det A) A^{- 1}$ ，可得

(A^{*})^{- 1} = \frac{1}{det A} A = - 2 A = - 2 M^{- 1} .

又

M^{- 1} = - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} - 1 10 \frac{5}{2} - 1 - \frac{1}{2},

因而

(A^{*})^{- 1} = 10 - 1 2 - 2 0 - 5 21 .