真题库

求微分方程$(x^2-1)\mathrm{d}y+(2xy-\cos x)\mathrm{d}x=0$满足初始条件$y{|}_{x=0}=1$的特解。

假设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内二阶可导。过点$A(0,f(0))$与$B(1,f(1))$的直线与曲线$y=f(x)$相交于点$C(c,f(c))$，其中$0<c<1$。证明：在$(0,1)$内至少存在一点$\xi$，使$f^{\prime \prime }(\xi )=0$。

已知3阶矩阵$A$的逆矩阵为$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$，试求其伴随矩阵$A^{\ast }$的逆矩阵。

设线性方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+k{x}_3=4\\ -x_1+k{x}_2+x_3=k^2\\ x_1-x_2+2x_3=-4\end{array}$。

设二阶常系数线性微分方程$y^{\prime \prime }+\alpha y^{\prime }+\beta y=\gamma {\mathrm{e}}^x$的一个特解为$y={\mathrm{e}}^{2x}+(1+x){\mathrm{e}}^x$。

设$A$是$m\times n$矩阵，$B$是$n\times m$矩阵，$E$是$n$阶单位矩阵（$m>n$）。已知$BA=E$，试判断$A$的列向量组是否线性相关？为什么？

设平面图形$A$由$x^2+y^2\le 2x$与$y\ge x$所确定，求图形$A$绕直线$x=2$旋转一周所得旋转体的体积。

设二次型$f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2\alpha x_1{x}_2+2\beta x_2{x}_3+2x_1{x}_3$经正交变换$X=PY$化成$f=y_2^2+2y_3^2$，其中$X=(x_1,x_2,x_3{)}^T$和$Y=(y_1,y_2,y_3{)}^T$是三维列向量，$P$是3阶正交矩阵。求常数$\alpha ,\beta$。

设随机变量$X$和$Y$独立，且都在区间$[1,3]$上服从均匀分布。引进事件$A=\{X\le a\}$，$B=\{Y>a\}$。

作半径为$r$的球的外切正圆锥。

设随机变量$X$和$Y$同分布，$X$的概率密度为$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{8}{x}^2,& 0<x<2\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。

假设一大型设备在任意长为$t$的时间内发生故障的次数$N(t)$服从参数为$\lambda t$的泊松分布。

设$x>0$，常数$a>\mathrm{e}$，证明：$(a+x{)}^a<a^{a+x}$。

设$f^{\prime }(x)$在$[0,a]$上连续，且$f(0)=0$，证明：$|{\int }_0^{a}f(x)\mathrm{d}x|\le \frac{M{a}^2}{2}$，其中$M={\max }_{0\le x\le a}|f^{\prime }(x)|$。

设函数$y=y(x)$由方程${\mathrm{e}}^{x+y}+\cos (xy)=0$确定，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=$ 。

函数$u=\ln (x^2+y^2+z^2)$在点$M(1,2,-2)$处的梯度$\mathrm{grad}u{|}_M=$ 。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& -\pi <x\le 0\\ 1+x^2,& 0<x\le \pi \end{array}$，则其以$2\pi$为周期的傅里叶级数在点$x=\pi$处收敛于 。

微分方程$y^{\prime }+y\tan x=\cos x$的通解为$y=$ 。

设$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& \cdots & a_1{b}_n\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& \cdots & a_2{b}_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_n{b}_1& a_n{b}_2& \cdots & a_n{b}_n\end{array}\right)$，其中$a_i\ne 0,b_i\ne 0$（$i=1,2,\cdots ,n$），则矩阵$A$的秩$r(A)=$ 。

当$x\to 1$时，函数$\frac{x^2-1}{x-1}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x-1}}$的极限（　　）。