1993 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

设

A

是

m \times n

矩阵，

B

是

n \times m

矩阵，

E

是

n

阶单位矩阵（

m > n

）。已知

B A = E

，试判断

A

的列向量组是否线性相关？为什么？

答案

A 的列向量组线性无关。

设 $u \in R^{n}$ 且 $A u = 0$ 。在等式两边左乘 $B$ ，得到

B A u = 0.

因为 $B A = E$ ，所以 $u = E u = B A u = 0$ 。因此齐次方程 $A u = 0$ 只有零解， $A$ 的 $n$ 个列向量线性无关。