真题库

$n$阶方阵$A$具有$n$个不同的特征值，是$A$与对角矩阵相似的（　　）。

若${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\beta }_1,{\beta }_2$都是 4 维列向量，且 4 阶行列式$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\beta }_1|=m$，$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_2,{\alpha }_3|=n$，则 4 阶行列式$|{\alpha }_3,{\alpha }_2,{\alpha }_1,{\beta }_1+{\beta }_2|$等于（　　）。

已知$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& 0\le x<1,\\ 1,& 1\le x\le 2,\end{array}$设$F(x)={\int }_1^{x}f(t)\mathrm{d}t$（$0\le x\le 2$），则$F(x)$为（　　）。

设$\lambda =2$是非奇异矩阵$A$的一个特征值，则矩阵$(\frac{1}{3}{A}^2{)}^{-1}$有一特征值等于（　　）。

设常数$k>0$，函数$f(x)=\ln x-\frac{x}{\mathrm{e}}+k$在$(0,+\infty )$内的零点个数为（　　）。

假设事件$A$和$B$满足$P(B\mid A)=1$，则（　　）。

设随机变量$X$与$Y$均服从正态分布，$X\sim N(\mu ,4^2)$，$Y\sim N(\mu ,5^2)$。记$p_1=P\{X\le \mu -4\}$，$p_2=P\{Y\ge \mu +5\}$，则（　　）。

设$f(x)=-f(-x)$，在$(0,+\infty )$内$f^{\prime }(x)>0,f^{\prime \prime }(x)>0$，则$f(x)$在$(-\infty ,0)$内（　　）。

设随机变量$X$的概率密度为$\phi (x)$，且$\phi (-x)=\phi (x)$，$F(x)$是$X$的分布函数，则对任意实数$a$，有（　　）。

设$y=\sin [f(x^2)]$，其中$f$具有二阶导数，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

设$z=f(x,y)$是由方程$z-y-x+x{\mathrm{e}}^{z-y-x}=0$所确定的二元函数，求$\mathrm{d}z$。

求$\underset{x\to -\infty }{\lim }x(\sqrt{x^2+100}+x)$。

已知$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x-a}{x+a}{)}^x={\int }_a^{+\infty }4x^2{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x$，求常数$a$的值。

已知某厂生产$x$件产品的成本为$C=25000+200x+\frac{1}{40}{x}^2$（元）。

求${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{x}{1+\cos 2x}\mathrm{d}x$。

设某产品的成本函数为$C=a{q}^2+bq+c$，需求函数为$q=\frac{1}{e}(d-p)$，其中$C$为成本，$q$为需求量（即产量），$p$为单价，$a,b,c,d,e$都是正常数，且$d>b$。

假设函数$y=f(x)$（$0\le x<+\infty$）满足以下条件：（1）$f(0)=0$且$0\le f(x)\le {\mathrm{e}}^x-1$；（2）平行于$y$轴的动直线$MN$与曲线$y=f(x)$和$y={\mathrm{e}}^x-1$分别相交于点$P_1$和$P_2$；（3）曲线$y=f(x)$、直线$MN$与$x$轴所围封闭图形的面积$S$恒等于线段$P_1{P}_2$的长度。求函数$y=f(x)$的表达式。

设$p,q$是大于$1$的常数，且$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。证明：对于任意$x>0$，有$\frac{1}{p}{x}^p+\frac{1}{q}\ge x$。

求${\int }_0^{+\infty }\frac{x}{(1+x{)}^3}\mathrm{d}x$。

运用导数的知识作函数$y=(x+6){\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}$的图形。