1993 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

设随机变量

X

和

Y

独立，且都在区间

[1, 3]

上服从均匀分布。引进事件

A = {X \leq a}

，

B = {Y > a}

。

答案

$a = \frac{5}{3}$ 或 $a = \frac{7}{3}$

$\frac{1}{2} ln 3$

若 $a \in / [1, 3]$ ，则直接由事件定义可得 $P (A \cup B) = 1$ ，不合题意，故 $1 < a < 3$ 。此时

P (A) = \frac{a - 1}{2}, P (B) = \frac{3 - a}{2} .

由于 $A$ 只由 $X$ 决定， $B$ 只由 $Y$ 决定，且 $X, Y$ 独立，所以 $A, B$ 独立。令 $t = \frac{a - 1}{2}$ ，则 $P (A) = t$ 、 $P (B) = 1 - t$ 。

于是

P (A \cup B) = t + (1 - t) - t (1 - t) = 1 - t + t^{2} = \frac{7}{9} .

解得 $t = \frac{1}{3}$ 或 $t = \frac{2}{3}$ ，从而

a = 1 + 2 t = \frac{5}{3} 或 a = \frac{7}{3} .

随机变量 $X$ 在 $[1, 3]$ 上的密度为

f_{X} (x) = \frac{1}{2}, 1 \leq x \leq 3.

因此

E (\frac{1}{X}) = \int_{1}^{3} \frac{1}{x} f_{X} (x) d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{d x}{x} = \frac{1}{2} ln 3.