真题库

级数$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n(1-\cos \frac{\alpha }{n})$（常数$\alpha >0$）（　　）。

在曲线$x=t,y=-t^2,z=t^3$的所有切线中，与平面$x+2y+z=4$平行的切线（　　）。

设$f(x)=3x^3+x^2|x|$，则使$f^{(n)}(0)$存在的最高阶数$n$为（　　）。

要使${\xi }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$、${\xi }_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)$都是线性方程组$Ax=0$的解，只要系数矩阵$A$为（　　）。

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x-\sin x-1}{1-\sqrt{1-x^2}}$。

设$z=f({\mathrm{e}}^x\sin y,x^2+y^2)$，其中$f$具有二阶连续偏导数，求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$。

设$f(x)=\{\begin{array}{ll}1+x^2,& x\le 0\\ {\mathrm{e}}^{-x},& x>0\end{array}$，求${\int }_1^{3}f(x-2)\mathrm{d}x$。

求微分方程$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }-3y={\mathrm{e}}^{-3x}$的通解。

计算曲面积分${\iint }_{\Sigma }(x^3+a{z}^2)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(y^3+a{x}^2)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(z^3+a{y}^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$\Sigma$为上半球面$z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$的上侧。

设$f^{\prime \prime }(x)<0$，$f(0)=0$。证明对任何$x_1>0,x_2>0$，有$f(x_1+x_2)<f(x_1)+f(x_2)$。

在变力$\vec{F}=yz\vec{i}+zx\vec{j}+xy\vec{k}$的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$上第一卦限的点$M(\xi ,\eta ,\zeta )$。

设向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性相关，向量组${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$线性无关。

设$3$阶矩阵$A$的特征值为${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=3$，对应的特征向量依次为${\xi }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，${\xi }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)$，${\xi }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 9\end{array}\right)$，又向量$\beta =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right)$。

已知$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$，$P(AB)=0$，$P(AC)=P(BC)=\frac{1}{16}$，则事件$A,B,C$全不发生的概率为 。

设随机变量$X$服从参数为$1$的指数分布，则数学期望$E(X+{\mathrm{e}}^{-2X})=$ 。

设随机变量$X$与$Y$独立，$X$服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$，$Y$服从$[-\pi ,\pi ]$上的均匀分布。求$Z=X+Y$的概率密度（计算结果用标准正态分布函数$\Phi (x)$表示，其中$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$）。

设$A$、$B$为3阶方阵，$E$为3阶单位阵，满足$AB+E=A^2+B$，又知$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$，求矩阵$B$。

求$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^{x^2}(x^2-t)f(t)\mathrm{d}t$，其中$f(t)$为已知的连续函数。

计算${\int }_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y{\int }_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}}{\mathrm{e}}^{\frac{y}{x}}\mathrm{d}x+{\int }_{\frac{1}{2}}^1\mathrm{d}y{\int }_y^{\sqrt{y}}{\mathrm{e}}^{\frac{y}{x}}\mathrm{d}x$。

设$\{\begin{array}{l}x=f(t)-\pi \\ y=f({\mathrm{e}}^{3t}-1)\end{array}$，其中$f$可导，且$f^{\prime }(0)\ne 0$，则$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{t=0}=$ 。