1992 · 数学一 · 第 19 题 · 解答题

设

3

阶矩阵

A

的特征值为

λ_{1} = 1, λ_{2} = 2, λ_{3} = 3

，对应的特征向量依次为

ξ_{1} = 111

，

ξ_{2} = 124

，

ξ_{3} = 139

，又向量

β = 113

。

答案

$β = 2 ξ_{1} - 2 ξ_{2} + ξ_{3}$

$A^{n} β = 2 ξ_{1} - 2^{n + 1} ξ_{2} + 3^{n} ξ_{3} = 2 - 2^{n + 1} + 3^{n} 2 - 2^{n + 2} + 3^{n + 1} 2 - 2^{n + 3} + 3^{n + 2}$

设 $β = c_{1} ξ_{1} + c_{2} ξ_{2} + c_{3} ξ_{3}$ 。比较三个分量得到

c_{1} + c_{2} + c_{3} c_{1} + 2 c_{2} + 3 c_{3} c_{1} + 4 c_{2} + 9 c_{3} = 1, = 1, = 3.

解得 $c_{1} = 2, c_{2} = - 2, c_{3} = 1$ ，所以

β = 2 ξ_{1} - 2 ξ_{2} + ξ_{3} .

由第一问 $β = 2 ξ_{1} - 2 ξ_{2} + ξ_{3}$ 。由 $A^{n} ξ_{i} = λ_{i}^{n} ξ_{i}$ ，

A^{n} β = 2 \cdot 1^{n} ξ_{1} - 2 \cdot 2^{n} ξ_{2} + 3^{n} ξ_{3} = 2 ξ_{1} - 2^{n + 1} ξ_{2} + 3^{n} ξ_{3} .

代入三个特征向量，得到

A^{n} β = 2 - 2^{n + 1} + 3^{n} 2 - 2^{n + 2} + 3^{n + 1} 2 - 2^{n + 3} + 3^{n + 2} .

该式对自然数从 $0$ 或 $1$ 起的两种约定都成立。