能

不能

由 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关，子组 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 也线性无关。

因 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关，存在不全为零的 $k_1,k_2,k_3$，使 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3=0$。若 $k_1=0$，将导致 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性相关，矛盾。因此 $k_1\ne 0$，且

所以能线性表示。

由第一问，${\alpha }_1\in \mathrm{span}({\alpha }_2,{\alpha }_3)$，所以

若 ${\alpha }_4$ 能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示，则 ${\alpha }_4\in \mathrm{span}({\alpha }_2,{\alpha }_3)$，这与 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关矛盾。因此不能线性表示。