$k\ne -1,4$

$k=-1$

$k=4$

$k\ne -1,4:(x_1,x_2,x_3)=(\frac{k(k+2)}{k+1},\frac{k^2+2k+4}{k+1},-\frac{2k}{k+1});k=4:(x_1,x_2,x_3)=(-3t,4-t,t),t\in \mathbb{R}$

系数行列式为

因此当且仅当 $k\ne -1,4$ 时方程组有唯一解。

当 $k=-1$ 时，前两式的左端互为相反数，但右端分别为 $4$ 和 $1$，不相容，故方程组无解。

当 $k=4$ 时，原方程组等价于两个独立约束

其中第一个由原前两式相加得到，代回第一式得到第二个，且第三式随之成立。因此系数矩阵与增广矩阵的秩都为 $2$，三个未知数中有一个自由变量，故有无穷多组解。结合前两问可知，有无穷多组解恰在 $k=4$ 时成立。

前两式相加，并用第三式减第一式，可得

当 $k\ne -1,4$ 时解得

当 $k=4$ 时令 $x_3=t$，则 $x_2=4-t$、$x_1=-3t$，其中 $t$ 为任意实数。$k=-1$ 时无解，故以上已列出所有有解情形。