1993 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

假设一大型设备在任意长为

t

的时间内发生故障的次数

N (t)

服从参数为

λ t

的泊松分布。

答案

$F_{T} (t) = {0, 1 - e^{- λ t}, t < 0 t \geq 0$

$Q = e^{- 8 λ}$

按本题通常采用的泊松故障模型，以一次故障后重新开始计时，记随后 $t$ 时间内的故障次数为 $N_{*} (t)$ ，并按题意使用其参数为 $λ t$ 的泊松分布。相邻两次故障间隔 $T > t$ 等价于这段时间内没有新故障，因此

P (T > t) = P (N_{*} (t) = 0) = e^{- λ t}, t \geq 0.

这里使用了故障后重新计时的模型解释；若仅给从某个固定时刻开始计数的边缘分布，不能直接把其剩余等待时间等同于相邻故障间隔。

故 $T$ 服从参数为 $λ$ 的指数分布：

F_{T} (t) = {0, 1 - e^{- λ t}, t < 0, t \geq 0, f_{T} (t) = λ e^{- λ t} .

其中 $t > 0$ 。

令 $A_{t}$ 表示从开始观察到 $t$ 小时内没有故障。因为 $A_{16} \subseteq A_{8}$ ，由条件概率公式和题给泊松分布，

Q = P (A_{16} ∣ A_{8}) = \frac{P ( A _{16} )}{P ( A _{8} )} = \frac{e ^{- 16 λ}}{e ^{- 8 λ}} = e^{- 8 λ} .

此计算不需要使用独立增量性。