2008 · 数学二 · 第 17 题 · 解答题

令 $x = sin t$ ，则 $t \in [0, \frac{π}{2}]$ ，从而

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} t sin^{2} t d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} t d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} t cos 2 t d t .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} t d t = \frac{π ^{2}}{8}$ ，且分部积分得 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} t cos 2 t d t = - \frac{1}{2}$ 。

因此 $I = \frac{π ^{2}}{16} + \frac{1}{4}$ 。

答案