真题库

设$n$元线性方程组$Ax=b$，其中$A=\left(\begin{array}{ccccc}2a& 1& 0& \cdots & 0\\ a^2& 2a& 1& \ddots & ⋮\\ 0& \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ ⋮& \ddots & a^2& 2a& 1\\ 0& \cdots & 0& a^2& 2a\end{array}\right),x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$。

设随机变量$X$与$Y$相互独立，$P\{X=i\}=\frac{1}{3}(i=-1,0,1)$，$Y$的概率密度为$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0\le y\le 1,\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，记$Z=X+Y$。

设$X_1,X_2,\dots ,X_n$是总体为$N(\mu ,{\sigma }^2)$的简单随机样本。记$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2,T={\overline{X}}^2-\frac{1}{n}{S}^2$。

设$f(x)=x^2(x-1)(x-2)$，求$f^{\prime }(x)$的零点个数为（　　）。

如图，曲线段方程为$y=f(x)$，函数在区间$[0,a]$上有连续导数，则定积分${\int }_0^{a}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$等于（　　）。

设函数$f(x)=\frac{\ln |x|}{|x-1|}\sin x$，则$f(x)$有（　　）。

设函数$f$连续。若$F(u,v)={\iint }_{D_{uv}}\frac{f(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中区域$D_{uv}$为图中阴影部分，则$\frac{\partial F}{\partial u}=$（　　）。

设$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$，则在实数域上与$A$合同的矩阵为（　　）。

已知$f(x)$连续，且$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos [xf(x)]}{({\mathrm{e}}^{x^2}-1)f(x)}=1$，则$f(0)=$ 。

微分方程$(y+x^2{\mathrm{e}}^{-x})\mathrm{d}x-x\mathrm{d}y=0$的通解是$y=$ 。

求函数$f(x)=(x-5)x^{\frac{2}{3}}$的拐点坐标为 。

已知$z=(\frac{y}{x}{)}^{\frac{x}{y}}$，则$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,2)}=$ 。

设$3$阶矩阵$A$的特征值是$2,3,\lambda$，若行列式$|2A|=-48$，则$\lambda =$ 。

设函数$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y={\int }_0^{t^2}\ln (1+u)\mathrm{d}u\end{array}$确定，其中$x(t)$是初值问题$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-2t{\mathrm{e}}^{-x}=0,\\ x{|}_{t=0}=0\end{array}$的解，求$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

计算${\int }_0^1\frac{x^2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$。

计算${\iint }_D\max \{xy,1\}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中$D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,0\le y\le 2\}$。

设$f(x)$是区间$[0,+\infty )$上具有连续导数的单调增加函数，且$f(0)=1$。对于任意的$t\in [0,+\infty )$，直线$x=0,x=t$、曲线$y=f(x)$以及$x$轴所围成曲边梯形绕$x$轴旋转一周生成旋转体。若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求$f(x)$的表达式。

求函数$u=x^2+y^2+z^2$在约束条件$z=x^2+y^2$和$x+y+z=4$下的最大和最小值。

设$A$为$3$阶矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2$为$A$的分别属于特征值$-1,1$的特征向量，向量${\alpha }_3$满足$A{\alpha }_3={\alpha }_2+{\alpha }_3$。