2019 · 数学一 · 第 3 题 · 选择题

由单调有界准则， $u_{n}$ 收敛于某有限值 $l$ 。D 的部分和裂项相消：

n = 1 \sum N (u_{n + 1}^{2} - u_{n}^{2}) = u_{N + 1}^{2} - u_{1}^{2} ⟶ l^{2} - u_{1}^{2},

所以 D 一定收敛。
A 不一定收敛。取 $u_{n} = 1 - \frac{1}{( n + 1 )}$ ，它严格增加且有界，并且 $u_{n} \geq \frac{1}{2}$ ，故 $\frac{u _{n}}{n} \geq \frac{1}{( 2 n )}$ ，与调和级数比较知发散。
B 不收敛。对于各项有定义的情形，有界性给出 $∣ u_{n} ∣ \leq M$ ，其中 $M > 0$ ，于是 $∣ \frac{( - 1 ) ^{n}}{u _{n}} ∣ \geq \frac{1}{M}$ ，通项不趋于零。如果某项 $u_{n} = 0$ ，该选项中的表达式还可能无定义。
C 不一定收敛，不能擅自假设 $u_{n} > 0$ 。取 $u_{n} = - \frac{1}{n}$ ，它严格增加且有界，但

1 - \frac{u _{n}}{u _{n + 1}} = 1 - \frac{n + 1}{n} = - \frac{1}{n},

对应级数发散。因此选 D。

答案