第 1 空：

积分中值定理要求 $a<b$，且 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。

第 2 空：

设 $m$ 与 $M$ 分别是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的最小值与最大值，则

平均值 $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 介于 $m$ 与 $M$ 之间。由连续函数的介值性质，至少存在 $\xi \in [a,b]$，使

即