1987 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

考虑函数

y = x^{2}

，

0 \leq x \leq 1

（如图）。

答案

$t = \frac{1}{2}$

$t = 1$

查看解析展开

由图可知 $0 \leq t \leq 1$ 。两块面积分别为

S_{1} = \int_{0}^{t} (t^{2} - x^{2}) d x = \frac{2}{3} t^{3}, S_{2} = \int_{t}^{1} (x^{2} - t^{2}) d x = \frac{1}{3} - t^{2} + \frac{2}{3} t^{3} .

所以

S (t) = \frac{4}{3} t^{3} - t^{2} + \frac{1}{3}, S^{'} (t) = 4 t^{2} - 2 t = 2 t (2 t - 1) .

在 $(0, \frac{1}{2})$ 上 $S^{'} (t) < 0$ ，在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 上 $S^{'} (t) > 0$ ，故 $S$ 在 $t = \frac{1}{2}$ 时取得最小值。

由上一问的单调性，区间 $[0, 1]$ 上的最大值只能在端点取得。计算

S (0) = \frac{1}{3}, S (1) = \frac{2}{3} .

因而 $S$ 在 $t = 1$ 时取得最大值。