原函数的定义域要求 $x\ne y$。令 $u=\frac{(x+y)}{(x-y)}$，则 $z=\arctan u$，且 $\mathrm{d}z=\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}$。

商法则给出 $\mathrm{d}u=\frac{-2y\mathrm{d}x+2x\mathrm{d}y}{(x-y{)}^2}$，同时 $1+u^2=\frac{2(x^2+y^2)}{(x-y{)}^2}$。

约去公因子后，$\mathrm{d}z=\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}$。该微分公式仍只在原函数的定义域 $x\ne y$ 内使用。