2016 · 数学一 · 第 8 题 · 选择题

随机试验

E

有三种两两不相容的结果

A_{1}, A_{2}, A_{3}

，且三种结果发生的概率均为

\frac{1}{3}

。将试验

E

独立重复做

2

次，

X

表示

2

次试验中结果

A_{1}

发生的次数，

Y

表示

2

次试验中结果

A_{2}

发生的次数，则

X

与

Y

的相关系数为（　　）。

A
$- \frac{1}{2}$
正确答案
B
$- \frac{1}{3}$
C
$\frac{1}{3}$
D
$\frac{1}{2}$

答案

解析

每次试验中， $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 各以概率 $\frac{1}{3}$ 发生，两次试验相互独立，故 $X, Y$ 均服从 $B (2, \frac{1}{3})$ 。因此 $E (X) = E (Y) = \frac{2}{3}$ ， $Var (X) = Var (Y) = 2 (\frac{1}{3}) (\frac{2}{3}) = \frac{4}{9}$ 。
记第 $t$ 次试验中 $A_{1}, A_{2}$ 的指示变量分别为 $U_{t}, V_{t}$ ，则 $X = U_{1} + U_{2}$ 、 $Y = V_{1} + V_{2}$ 。同次试验的两结果互斥，故 $U_{t} V_{t} = 0$ ，从而

Cov (U_{t}, V_{t}) = 0 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = - \frac{1}{9} .

不同次试验独立， $t \neq = s$ 时 $Cov (U_{t}, V_{s}) = 0$ 。由协方差双线性，

Cov (X, Y) = t = 1 \sum 2 s = 1 \sum 2 Cov (U_{t}, V_{s}) = 2 (- \frac{1}{9}) = - \frac{2}{9} .

所以 $ρ_{X Y} = \frac{( - \frac{2}{9} )}{( \frac{4}{9} ) ( \frac{4}{9} )} = - \frac{1}{2}$ ，选 A。独立的是两次试验，并非两个计数变量。

两次试验的有序结果共 $9$ 种，等可能。由于 $X + Y \leq 2$ ，乘积 $X Y$ 只有在 $X = Y = 1$ 时非零。此时两次结果为 $(A_{1}, A_{2})$ 或 $(A_{2}, A_{1})$ ，故 $P {X = 1, Y = 1} = \frac{2}{9}$ ，进而 $E (X Y) = \frac{2}{9}$ 。
由二项分布， $E (X) = E (Y) = \frac{2}{3}$ ，两方差均为 $\frac{4}{9}$ 。于是

ρ_{X Y} = \frac{\frac{2}{9} - ( \frac{2}{3} ) ( \frac{2}{3} )}{\frac{4}{9}} = - \frac{1}{2} .

这里要同时计入两种先后顺序。